对一个事物，从属性认识到数量化认识，是人的认识的飞跃，反过来，现实中事物可利用已认识规律的有关公式，转化数字模型来加以研究，这是现在高端大器研究方向方法。这就是数的作用，可见数的应用广泛性和高端性。
一、数的发展与学习过程分下列步骤：
①正整数及运算。
由计数引出正整数。由实际需要引出加减运算。由简化运算驱使引进乘法运算，由实际引出除法运算。体会运算的关联（加乘关联）及互逆性（加减，乘除互为逆运算）。体会运算的完美（对加法乘法具封闭完备性）与缺陷（对减除法不具完备性），体会数的无限性，没有无限性就没有完备性。
识数中体会进位制（10进位，满10进1）。会口算和竖式完成加减乘除运算，还可用一些技巧简化运算，迅速准确得到正确结果。
②正分数的引入，解决现实中不够分问题。
如将一饼分给3人，不够分，怎么办？人将饼3等分，每人便可分一块。这中的饼三等分后每块是1/3（三分之一），2块就是2/3（三分之二），3/3=1。体会正有理数对加乘除的封闭完备性。
③负数引入，解决不够减。引申为表示欠债，表示位于平均之下，表示位于某指定状态之下（如零下3度），表示动态相反状态：如进3出2（-2），升5降6（-6），具相对性。
数系扩充至有理数，解决了减法的封闭牲。
即有理数是元素+加减乘除+完备封闭性。
体会特殊元素0和无穷大无穷多个。
绝对值很大或很小数的表示法，如科学记数法。
④实数：
由解方程引进新运算，乘方及其逆运算开方。
研讨知有理数即整数或分数，化成小数即有限小数或无限循环小数（有循环节）。
可证二次根号2（√2），三次根号3等不是有理数。
得知有理数对开方运算的不封闭完备性。
人们引进无理数，数系扩充为实数，正数的开平方就是实数了。
无理数是无限不循环小数。
实数填满整条数轴。完成度量中的封闭完备性（度量出的数据都是实数，度量过程中衔接和截取，运算计数等都不逃出实数范围。）
这就是实数的意义。
实数理论的严格完备，需学习高等数学中测度论。
另外负数也不能开平方，破坏了封闭性。
⑤复数：
为了负数能开方，引出虚数，得到复数。
复数与平面上的点一一对应，所以复数可以表示平面上的点，平面上的点也可用复数表示。复数与平面向量形成对应。
复数对加减乘除乘方开方六则运算具有封闭完备性。且满足所有运算律：交换律，结合律，分配律。
复数不具有大小。
任一个一元n次方程有n个复数解。
复数的加乘均具有几何意义，加法是平移变换，乘法是旋转+伸缩变换。
⑥更高级的理论需要四元数，八元数，十六元数等。
⑦不同环境下，需用不同进位制数。如计算机中常用二进制数，十六进制数等。
便有二进制数，三进制数，四进制数，…，n（n为大于1的正整数）进制数，同一进制内数的运算，不同进制间数的转换互化。
n进制数，就是在计数时，满n进1。
人处理时，常将n进制数化为10进制数，运算后，再化为其他进制数。机处理时，常将n进制数化为2进制数，计算后化成10进制数输出。
2、对数学中的数的学习有什么要求？要达到什么目标？
学会对各种数的认识，会进行各种运算，明确数系是对象（元素）+运算+封闭系统，体会数系的理想与完美性，认识数系扩充的必要性和人类认识数的发展历程。
3、数外知识展望：
内部发展：进一步抽象数系→群环域及其理论。数→数论。等。
外部发展一：数→代数式→代数及其理论→方程不等式函数研究。
外部发展二：数→几何度量→长度面积体积计算运动变化率→微积分。
外部发展三：数→实践中数的统计处理→数理统计，数→随机事件中的数→概率论。
外部发展四：数学重思维，重逻辑推理，为了数学理论的严密性，又引出对逻辑的研究，形成逻辑学。分支中有一门电路设计中的逻辑电路学，在电脑、电子芯片、各种控制电路中大显身手。
4、对一个事物，从属性认识到数量化认识，是人的认识的飞跃，反过来，现实中事物可利用已认识规律的有关公式，转化数字模型来加以研究，这是现在高端大器研究方向方法。这就是数的作用，可见数的应用广泛性和高端性。
5、现代所学的数学理论，不管是有数的，还是无数的，都是由数的研究引出，结合实践而得来的，所以，尽管分支很多，不见数的也很多了，但都仍称为数学。
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